函数的单调性指的是函数的增减性。函数在其定义域内的某个区间上的单调性可以分为单调增、单调减、不具有单调性三种情况。
函数的单调性
一、单调递增与增函数
如果函数y=f(x)，对于定义域内的某个区间D上的任意两个自变量a、b，当a<b时都有f(a)<f(b)，则称f(x)在区间D上单调递增，同时把区间D称为函数y=f(x)的一个单调递增区间。
【注】定义中的“当a<b时都有f(a)<f(b)”与“当a>b时都有f(a)>f(b)”等价。注意到a-b≠0，定义中的“当a<b时都有f(a)<f(b)”还与“[f(a)-f(b)]/(a-b)>0”等价。
特别地，当函数y=f(x)在它的整个定义域上单调递增时，就称函数f(x)是其定义域上的增函数，常简称为增函数。
【注】函数在某个区间上恒增的区间，才是这个函数的单调递增区间。
y=x^2当x0时为减函数，x0时为增函数
二、单调递减与减函数
如果函数y=f(x)，对于定义域内的某个区间D上的任意两个自变量a、b，当a<b时都有f(a)>f(b)，则称f(x)在区间D上单调递减，同时把区间D称为函数y=f(x)的一个单调递减区间。
【注】定义中的“当a<b时都有f(a)>f(b)”与“当a>b时都有f(a)<f(b)”等价。注意到a-b≠0，定义中的“当a<b时都有f(a)>f(b)”还与“[f(a)-f(b)]/(a-b)<0”等价。
特别地，当函数y=f(x)在它的整个定义域上单调递减时，就称函数f(x)是其定义域上的减函数，常简称为减函数。
【注】函数在某个区间上恒减的区间，才是这个函数的单调递减区间。
三、不具有单调性
如果函数y=f(x)，在其定义域内的某个区间D上既不单调递增，也不单调递减，就称函数f(x)在区间D上不具有单调性。一般地，在某个区间D上不具有单调性的函数，函数图像在这个区间D上“有升有降，升降共存”。
特别地，当函数y=f(x)在它的定义域上不具有单调性时，就称函数f(x)不是其定义域上的单调函数。此时的函数图象在其定义域上也是“有升有降，升降共存”。如：正弦函数y=sinx，x∈R。结合正弦函数图象可知，正弦函数既有单调递增区间也有递减区间，但却不是定义域R上的单调函数。
正弦函数与余弦函数的图象
函数不是定义域上的单调增（减）函数时，往往仍有可能是其定义域的某个子区间上的单调函数。如“y=1/x”不是定义域内的减函数，但却是“x<0”和“x>0”上的减函数。（注：函数的单调性指的是函数在某个区间上恒增或恒减，函数有增又有减的区间不是这个函数的单调区间。）
所以说，在整个定义域上不具有单调性的函数有可能在定义域的某个子区间上具有单调性。反之，在函数定义域的某个子区间具有单调性的函数未必在其整个定义域上具有单调性。
四、图象法判断函数的单调性
1、函数在某个区间单调递增，等价于从左向右看时，函数在这个区间上的图象呈‘上升’趋势；函数是增函数，等价于从左向右看时，函数在其整个定义域上的图象呈“上升”趋势。
2、函数在某个区间单调递减，等价于从左向右看时，函数在这个区间上的图象呈“下降”趋势。函数是减函数，等价于从左向右看时，函数在其整个定义域上的图象呈“下降”趋势。
五、常用的性质
1、两个增函数的和还是增函数。
2、两个减函数的和还是减函数。
3、增函数减去减函数等于增函数。
4、减函数减去增函数等于减函数。
5、复合函数的单调性法则：“同增异减”。即内层函数和外层函数的单调性相同（同增或同减）时，为增函数；内层函数和外层函数的单调性相反（一增一减）时，为减函数；。
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